Question

如圖所示，點M，N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q，
（1）求證：△ABM≌△BCN；
（2）求證：∠BQM=60°．
若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？（只判斷，不用證明）
（3）若將題中的條件“點M，N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，你能求得∠BQM的度數(shù)嗎？試試看．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN；

（2）∵三角形ABC為等邊三角形，
∴∠ABM=∠BCN=60°，AB=BC，又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°；

（3）如圖所示，


由題中條件可得Rt△ABM≌Rt△CBN，
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=90°．
分析：（1）由等邊三角形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再由題中BM=CN，即可得出結論；
（2）由（1）中可得∠BAM=∠CBN，再由∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN，即通過角之間的轉化即可求解；
（3）求解過程與（1）、（2）相同，只不過把等邊三角形改為正方形而已．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及一些等邊三角形及正方形的性質，應熟練掌握．