Question

如圖1所示，一架長(zhǎng)4m的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面所成的角α為60度．
（1）求AO與BO的長(zhǎng)；
（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行．
①如圖2所示，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC：BD=2：3，試計(jì)算梯子頂端NO下滑了多少米？
②如圖3所示，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A′點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B′點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)，若∠POP′=15°，試求AA′的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）直角三角形中已知斜邊和一個(gè)角，那么兩條直角邊就容易求得了．
（2）①可先設(shè)出AC，BD的長(zhǎng)，然后表示出OC，OD的長(zhǎng)，根據(jù)滑動(dòng)前后梯子長(zhǎng)不變的特點(diǎn)在直角三角形WMC中運(yùn)用勾股定理求出未知數(shù)的值，然后求出AC，BD的長(zhǎng)．
②可根據(jù)直角三角形斜邊中線定理，和已知的∠ABO的度數(shù)，來(lái)求出∠B′A′O的度數(shù)，然后求出OA′的長(zhǎng)，從而求出AA′的長(zhǎng)．

解答：解：（1）BO=AB•cos60°=4×

1

2

=2（m）
AO=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

（m）
答：BO=2m；AO=2

3

m．

（2）①設(shè)AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2

3

-2x，OD=2+3x，CD=4m．
根據(jù)勾股定理有OC²+OD²=CD²．
∴（2

3

-2x）²+（2+3x）²=4²．
∴13x²+（12-8

3

）x=0．
∵x≠0，
∴13x+12-8

3

=0，
∴x=

8 3 -12

13

m．
∴AC=2x=

16 3 -24

13

m．
答：梯子頂端A沿NO下滑了

16 3 -24

13

m．

②∵P點(diǎn)和P′點(diǎn)分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點(diǎn)．
∴PA=PO，P′A′=P′O．
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
又∵∠PAO=30°．
∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′•cos45°=4×

2

2

=2

2

（m）．
∴AA′=AO-A′O=（2

3

-2

2

）m．

點(diǎn)評(píng)：本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．本題中要注意直角三角形斜邊中線定理的運(yùn)用．