Question

（2012•大連）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在DC上，且∠BEF=∠A．
（1）∠BEF=

180°-2α

（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)AB=AD時(shí)，猜想線段EB、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）當(dāng)AB≠AD時(shí)，將“點(diǎn)E在AD上”改為“點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他條件不變（如圖），求

EB

EF

的值（用含m，n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易求得∠A的度數(shù)，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度數(shù)；
（2）首先連接BD交EF于點(diǎn)O，連接BF，由AB=AD，易證得△EOB∽△DOF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得

OE

OD

=

OB

OF

，繼而可證得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；
（3）首先延長(zhǎng)AB至G，使AG=AE，連接BE，GE，易證得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得

EB

EF

的值．

解答：（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°-2α；
故答案為：180°-2α；

（2）EB=EF．
證明：連接BD交EF于點(diǎn)O，連接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．
∵AB=AD，
∴∠ADB=

1

2

（180°-∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，
由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴

OE

OD

=

OB

OF

，
即

OE

OB

=

OD

OF

，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；

（3）解：延長(zhǎng)AB至G，使AG=AE，連接GE，
則∠G=∠AEG=

180°-∠A

2

=

180°-(180°-2α)

2

=α，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G，
∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，
∴△DEF∽△GBE，
∴

EB

EF

=

BG

DE

，
∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，
∴

EB

EF

=

BG

DE

=

(n+1-m)DE

DE

=n+1-m．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．