Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB于D，AD=2，CD=4．∠BCD的角平分線CE與過點(diǎn)B的切線l交過點(diǎn)E．

（1）求⊙O半徑的長；

（2）求點(diǎn)E到直線BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）8；

【解析】

（1）如圖1中，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△CDO中，利用勾股定理即可解決問題．

（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，EG⊥CB，垂足為G，則∠EFD=90°，只要證明四邊形BDFE是矩形，求出EF，利用角平分線的性質(zhì)可得EG=EF即可解決問題．

（1）如圖1中，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r．

∵AD=2，OD=r﹣2，

∵CD⊥AB，

∴∠CDO=90°，

在Rt△CDO中，∵CD2+DO2=CO2，

∴42+（r﹣2）2=r2，

∴r=5，

⊙O的半徑為5．

（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，EG⊥CB，垂足為G，則∠EFD=90°，

∵直線l切⊙O于B，

∴AB⊥l，

∴∠DBE=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BDF=90°，

∴四邊形BDFE是矩形，

∴EF=BO+OD=8，

∵點(diǎn)E在∠BCD的平分線上，

∴EG=EF=8．

∴點(diǎn)E到直線BC的距離為8．