Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=16，點E在AD邊上，點F在BC邊上，EF⊥AC，垂足點O是對角線AC的中點，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）點P在線段AC上，且2AE²=AP•AC，在圖中畫出點P的位置，說明畫圖方法，并求線段CP的長；
（3）動點M、N分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點M自A→F→B→A停止，點N自C→D→E→C停止．在運動過程中，點M的速度為每秒5個單位長度，點N的速度為每秒4個單位長度，運動時間為t秒，當(dāng)以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可以得出AE=CE，AF=CF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可以而出△AEO≌△CFO，通過四邊相等的四邊形是菱形就可以得出結(jié)論；
（2）過點E作EP⊥AE于E，交AC于P，由相似三角形的性質(zhì)就可以證明結(jié)論，設(shè)AE=x，則AF=CF=x，BF=16-x．在Rt△ABF中
由勾股定理就可以求出AE的值，AC的值，再根據(jù)2AE²=AP•AC建立方程就可以求出AP的值，從而求出CP；
（3）根據(jù)作圖可以得出只有點M在FB上時，以A、C、M、N四點為頂點的四邊形可能是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)
CM=AN建立方程就可以求出t的值．

解答：解：（1）∵EF⊥AC，垂足O是AC的中點，
∴AE=CE，AF=FC．AO=CO．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO
∵在△AEO和△CFO中，

∠AEO=∠CFO ∠EAO=∠FCO AO=CO

，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四邊形AFCE是菱形．

（2）作法：過點E作EP⊥AE于E，交AC于P，
∴∠AEP=90°．
∵四邊形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠AEP．
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，
∴AE²=AP•AO．
∵AO=

1

2

AC，
∴AE²=AP•

1

2

AC，
∴2AE²=AP•AC．
設(shè)AE=x，則AF=CF=x，BF=16-x．
在Rt△ABF中，
AB²+BF²=AF²，
∴64+（16-x）²=x²，
解得：x=10．
在Rt△ABC中，AC=8

5

．
∵2AE²=AP•AC，
∴2×100=8

5

AP，
AP=5

5

，
∴CP=AC-AP=3

5

．

（3）根據(jù)作圖可以得出只有點M在FB上時，以A、C、M、N四點為頂點的四邊形可能是平行四邊形．
∴CM=AN．
∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=CF，
∴CM=CF+MF=AF+MF=5t，
∵AN=AD+CD-4t=16+8-4t=24-4t，
∴5t=24-4t，
t=

8

3

．
∴當(dāng)t=

8

3

時，以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題考查了中垂線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，菱形的判定及性質(zhì)的運用，在解答本題時根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)建立方程求解時解答本題的難點及關(guān)鍵．