Question

【題目】我們?cè)鴮W(xué)過(guò)定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對(duì)的角為”.如圖，在中，，如果，那么.

請(qǐng)你根據(jù)上述命題，解決下面的問(wèn)題：

（1）如圖1，，為格點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線于點(diǎn)，則______；

（2）如圖2，、為格點(diǎn)，按要求在網(wǎng)格中作圖（保留作圖痕跡）。

作，使點(diǎn)在直線上，并且，.

（3）如圖3，在中，，，為內(nèi)一點(diǎn)，，于，且.

①求的度數(shù)；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1）30；（2）見(jiàn)解析；（3）①30°；②見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．由作圖可知：AC=AB=2CF，即可推出∠CAB=30°．
（2）以D為圓心，DF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線a于點(diǎn)G，連接FG交直線l于E，連接DE，△DEF即為所求．
（3）①根據(jù)AC=2CE，推出∠CAE=30°．
②作DH⊥BC，想辦法證明BH=CH即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．
由作圖可知：AC=AB=2CF，
∴∠CAB=30°，
故答案為30．

（2）如圖△DEF即為所求．
（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=AC
∴∠CAD=30°
②作DH⊥BC于H．

∵∠AEC=90°，∠CAE=30°
∴∠ACE=60°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠DCF=∠DCH=15°，
∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD，
∴△CDE≌△CDH（AAS），
∴CE=CH=AC=BC，
∴BH=CH，∵DH⊥BC，
∴DB=DC．