Question

【題目】有一根直尺短邊長(zhǎng)，長(zhǎng)邊長(zhǎng)，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長(zhǎng)為．如圖1，將直尺的短邊與直角三角形紙板的斜邊重合，且點(diǎn)與點(diǎn)重合．將直尺沿射線方向平移，如圖2，設(shè)平移的長(zhǎng)度為，且滿足，直尺和三角形紙板重疊部分的面積為．

（1）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

（2）當(dāng)時(shí)（如圖3），請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．

（3）是否存在一個(gè)位置，使重疊部分面積為？若存在求出此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）2，10，2；（2）S=；（3）存在，x=5cm

【解析】

（1）根據(jù)平移的距離分別求出AE、AD，再根據(jù)面積公式求出對(duì)應(yīng)的答案即可；

（2）證明△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD、BE，過點(diǎn)C作CH⊥AB，利用面積相減的關(guān)系求出函數(shù)解析式；

（3）由（1）確定x>4cm，代入（2）的函數(shù)解析式求出方程解即可得到答案.

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∵∠DEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

同理：△ADG是等腰直角三角形，

∴AD=DG，

當(dāng)x=0cm時(shí)，AE=EF=2cm，∴S=；

當(dāng)時(shí)，AD=DG=4cm，AE=EF=4+2=6cm，∴S=；

當(dāng)x=10cm時(shí)，AD=DG=10cm，AE=10+2=12cm，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，

∴S=；

故答案為：2,10,2；

（2）∵AD=DG=xcm，DE=2cm，

∴AE=(x+2)cm，

∴BE=（12-x-2）cm=（10-x）cm，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∵∠BEF=90°，

∴∠BFE=∠B=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE=（10-x）cm，

過點(diǎn)C作CH⊥AB，

∴CH=AB=6cm，

∴

=，

=；

（3）存在，

由（1）知：當(dāng)時(shí)S=10，

∴當(dāng)S=11時(shí)，x>4cm，

∴=11，

解得，

∴當(dāng)x=5cm時(shí)，重疊部分面積為.