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        1. (2013•朝陽(yáng))如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△AOB的直角邊OA在x軸正半軸上,OB在y軸負(fù)半軸上,且OA=
          3
          ,OB=1,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.
          (1)求出該拋物線的解析式.
          (2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)M,是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且平分Rt△AOB面積的直線上一點(diǎn).若OM=2,請(qǐng)判斷點(diǎn)M是否在(1)中的拋物線上?并說(shuō)明理由.
          (3)點(diǎn)P是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與坐標(biāo)軸不平行的直線l上一點(diǎn).請(qǐng)你探究:當(dāng)直線l繞點(diǎn)B任意旋轉(zhuǎn)(不與坐標(biāo)軸平行或重合)時(shí),是否存在這樣的直線l,在直線l上能找到點(diǎn)P,使△PAB與Rt△AOB相似(相似比不為1)?若存在,求出直線l的解析式;若不存在,說(shuō)明理由.
          分析:(1)依題意得到A與B的坐標(biāo),根據(jù)B為拋物線的頂點(diǎn),設(shè)出拋物線的解析式,將A坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
          (2)點(diǎn)M不在拋物線上,理由為:設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線OM交AB于點(diǎn)D,由題意得到D為AB的中點(diǎn),得到AD=OD=BD,得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°,作MN垂直于OC,求出MN與ON的長(zhǎng),確定出M坐標(biāo),代入拋物線解析式檢驗(yàn)即可得到結(jié)果;
          (3)存在,在Rt△AOB中,AO=
          3
          ,BO=1,AB=2,∠ABO=60°,∠BAO=30°,分三種情況考慮:①當(dāng)∠ABP=90°時(shí),若∠AP1B=60°,則△ABP1∽△AOB,由相似得比例,確定出P1的坐標(biāo),再由B坐標(biāo)確定出直線l解析式即可;②當(dāng)∠ABP=60°時(shí),若∠BAP5=90°,則△ABP5∽△OBA,由相似得比例求出P5坐標(biāo),同理確定出直線l解析式;③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時(shí),若∠P6AB=90°,則△ABP6∽△OAB,由相似得比例求出P6坐標(biāo),同理確定出直線l解析式,綜上,得到直線l上能找到點(diǎn)P,使Rt△PAB與Rt△AOB相似時(shí)的所有解析式.
          解答:解:(1)依題意得:A(
          3
          ,0),B(0,-1),
          ∵B為拋物線的頂點(diǎn),
          ∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2-1,
          將A坐標(biāo)代入得:3a-1=0,即a=
          1
          3
          ,
          則拋物線解析式為y=
          1
          3
          x2-1;

          (2)點(diǎn)M不在拋物線y=
          1
          3
          x2-1上,理由為:
          設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線OM交AB于點(diǎn)D,作MN⊥OC于點(diǎn)N,
          由題意得:D為AB的中點(diǎn),即OD=AD=BD,
          ∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°,
          在Rt△OMN中,OM=2,
          ∴MN=1,ON=
          3
          ,即M(-
          3
          ,1),
          ∵y=
          1
          3
          ×(-
          3
          2-1=0≠1,
          ∴點(diǎn)M不在拋物線y=
          1
          3
          x2-1上;

          (3)存在,在Rt△AOB中,AO=
          3
          ,BO=1,AB=2,∠ABO=60°,∠BAO=30°,
          分三種情況考慮:
          ①當(dāng)∠ABP=90°時(shí),若∠AP1B=60°,則△ABP1∽△AOB,
          BP1
          BO
          =
          AB
          AO
          ,即BP1=
          1×2
          3
          =
          2
          3
          3
          ,
          ∴OP1=
          3
          3
          ,即P1(-
          3
          3
          ,0),[這里也利用求出P2(-
          3
          ,2)或P3
          3
          3
          ,-2)或P4
          3
          ,-4)],
          設(shè)直線l解析式為y=kx+b,將B與P1坐標(biāo)代入得:
          b=-1
          -
          3
          3
          k+b=0
          ,
          解得:
          k=-
          3
          b=-1

          此時(shí)直線l解析式為y=-
          3
          x-1;
          ②當(dāng)∠ABP=60°時(shí),若∠BAP5=90°,則△ABP5∽△OBA,
          BP5
          AB
          =
          AB
          BO
          ,即BP5=
          2×2
          1
          =4,
          過(guò)P5作P5C⊥y軸于點(diǎn)G,在Rt△BGP5中,∠P5BG=60°,
          ∴P5G=2
          3
          ,BG=2,即P5(2
          3
          ,-3),
          同理求出直線l解析式為y=-
          3
          3
          x-1;
          ③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時(shí),若∠P6AB=90°,則△ABP6∽△OAB,
          BP6
          AB
          =
          AB
          OA
          ,即BP6=
          2×2
          3
          =
          4
          3
          3
          ,
          過(guò)P6作P6H⊥y軸于點(diǎn)H,在Rt△BP6H中,∠P6BH=30°,
          ∴P6H=
          2
          3
          3
          ,BH=2,
          ∴P6
          2
          3
          3
          ,1),
          同理得到直線l解析式為y=
          3
          x-1,
          綜上,存在三條直線l:y=-
          3
          x-1,y=-
          3
          3
          x-1和y=
          3
          x-1,在上述直線l上能找到點(diǎn)P,使Rt△PAB與Rt△AOB相似.
          點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),涉及的知識(shí)有:坐標(biāo)與圖形性質(zhì),待定系數(shù)法求拋物線解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
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          60
          60
          °.

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          ①②③
          (填編號(hào)).

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