Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不與D重合），過點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合）．把△DEF沿EF對折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，設(shè)DE=x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求CD的長及∠1的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)G恰好在BC上，求此時(shí)x的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）將AB平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，利用勾股定理，則可得出CD的長度，根據(jù)CD與AD的長度關(guān)系可得出∠DAC的度數(shù)，也就得出了∠1的度數(shù)．
（2）根據(jù)點(diǎn)G落在BC上時(shí)，有GE=DE=x，EC=3

3

-x，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根據(jù)GE=2CE列出方程即可得出x的值．
（3）根據(jù)△EFG≌△EFD列出y的表達(dá)式，從而討論x的范圍，分別得出可能的值即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=

1

2

AB=6×

1

2

=3，AH=

AB2-BM2

=3

3

，
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴CD=AH=3

3

，
∵AD=9，
∴tan∠DAC=

CD

AD

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠DAC=30°，
∴CD=3

3

，∠1=30°；

（2）若點(diǎn)G恰好在BC上，
則有GE=DE=x，EC=3

3

-x，
∵∠1=30°，
∴∠FED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴∠GEC=60°，
∴GE=2CE，
∴x=2(3

3

-x)，
∴x=2

3

；

（3）∵△EFG≌△EFD，
①y=S△EFD=

1

2

×DE×DF=

3

2

x2，當(dāng)0≤x≤2

3

時(shí)，y隨著x的增大，面積增大，
此時(shí)△的面積就是重疊的面積，當(dāng)x=2

3

時(shí)，達(dá)到最大值，為6

3

．
②當(dāng)3

3

＞x＞2

3

，△EFG就有一部分在梯形外，如圖，
∵GE=DE=x，EC=3

3

-x，
易求ME=2(3

3

-x)，
∴GM=GE-ME=x-2(3

3

-x)=3x-6

3

，
∴NG=

3x-6 3

3

=

3

x-6，
∴S△MNG=

1

2

NG×MG=

1

2

(

3

x-6)(3x-6

3

)=

3

2

(

3

x-6)2，
此時(shí)y=S△EFD-S△MNG=

1

2

×DE×DF-

1

2

NG×MG=

3

2

x2-

3

2

(

3

x-6)2=-

3

(x2-6

3

x+18)，
=-

3

(x2-6

3

x+18)=-

3

(x-3

3

)2+9

3

，
當(dāng)x=3

3

時(shí)，ymax=9

3

．
綜上所述．當(dāng)x=3

3

時(shí)，ymax=9

3

．

點(diǎn)評：本題考查直角梯形與三角形的綜合，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識，然后將所求的題目具體化，從而利用所學(xué)的知識建立模型，然后有序解答．