Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90゜，AC=2AB，D為AC的中點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且EA=ED，EA⊥ED，試猜想線段BE和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：根據(jù)中點(diǎn)的定義可得AC=2CD，從而得到AB=CD，再求出△AED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠EAD=∠EDA=45°，然后求出∠BAE=∠CAE=135°，利用“邊角邊”證明△ABE和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=CE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BEA=∠CED，然后求出∠BEC=∠AED，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答：解：BE=CE，BF⊥CE．
理由如下：∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AC=2CD，
∵AC=2AB，
∴AB=CD，
∵EA=ED，EA⊥ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=90°+45°=135°，
∠CAE=180°-∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△DCE中，

EA=ED ∠BAE=∠CAE AB=CD

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∠BEA=∠CED，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠BED+∠BAE=∠AED=90°，
∴BF⊥CE．
故，BE=CE，BF⊥CE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于找出∠BAE=∠CAE=135°．