Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，某個(gè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣t，y1）和（t，y2）（其中t為常數(shù)且t＞0），將x＜﹣t的部分沿直線y＝y1翻折，翻折后的圖象記為G1；將x＞t的部分沿直線y＝y2翻折，翻折后的圖象記為G2，將G1和G2及原函數(shù)圖象剩余的部分組成新的圖象G．

例如：如圖，當(dāng)t＝1時(shí)，原函數(shù)y＝x，圖象G所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝．

（1）當(dāng)t＝時(shí)，原函數(shù)為y＝x+1，圖象G與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是　 ．

（2）當(dāng)t＝時(shí)，原函數(shù)為y＝x2﹣2x

①圖象G所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是　 ．

②圖象G所對應(yīng)的函數(shù)是否有最大值，如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由．

（3）對應(yīng)函數(shù)y＝x2﹣2nx+n2﹣3（n為常數(shù)）．

①n＝﹣1時(shí)，若圖象G與直線y＝2恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．

②當(dāng)t＝2時(shí)，若圖象G在n2﹣2≤x≤n2﹣1上的函數(shù)值y隨x的增大而減小，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）①﹣≤x≤1或x≥；②圖象G所對應(yīng)的函數(shù)有最大值為；（3）①；②n≤或n≥．

【解析】

（1）根據(jù)題意分別求出翻轉(zhuǎn)之后部分的表達(dá)式及自變量的取值范圍，將y=0代入，求出x值，即可求出圖象G與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）畫出函數(shù)草圖，求出翻轉(zhuǎn)點(diǎn)和函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，①根據(jù)圖象的增減性可求出y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍，②根據(jù)圖象很容易計(jì)算出函數(shù)最大值；

（3）①將n＝﹣1代入到函數(shù)中求出原函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算y=2時(shí)，x的值.據(jù)（2）中的圖象，函數(shù)與y=2恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)t大于右邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)且-t大于左邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求解.

②畫出函數(shù)草圖，分別計(jì)算函數(shù)左邊的翻轉(zhuǎn)點(diǎn)A，右邊的翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C，函數(shù)的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)（可用含n的代數(shù)式表示），根據(jù)函數(shù)草圖以及題意列出關(guān)于n的不等式求解即可.

（1）當(dāng)x＝時(shí)，y＝，

當(dāng)x≥時(shí)，翻折后函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)（，）坐標(biāo)代入上式并解得：

翻折后函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x+2，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，即函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）；

同理沿x＝﹣翻折后當(dāng)時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x，

函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），因?yàn)?/span>所以舍去.

故答案為：（2，0）；

（2）當(dāng)t＝時(shí)，由函數(shù)為y＝x2﹣2x構(gòu)建的新函數(shù)G的圖象，如下圖所示：

點(diǎn)A、B分別是t＝﹣、t＝的兩個(gè)翻折點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線原頂點(diǎn)，

則點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為﹣、1、，

①函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，﹣≤x≤1或x≥，

故答案為：﹣≤x≤1或x≥；

②函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，

x＝﹣，y＝（﹣）2﹣2×（﹣）＝，

答：圖象G所對應(yīng)的函數(shù)有最大值為；

（3）n＝﹣1時(shí)，y＝x2+2x﹣2，

①參考（2）中的圖象知：

當(dāng)y＝2時(shí)，y＝x2+2x﹣2＝2，

解得：x＝﹣1±，

若圖象G與直線y＝2恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則t＞﹣1且-t>,

所以；

②函數(shù)的對稱軸為：x＝n，

令y＝x2﹣2nx+n2﹣3＝0，則x＝n±，

當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為：﹣2，n，2，

當(dāng)x＝n在y軸左側(cè)時(shí)，（n≤0），

此時(shí)原函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（n+，0）在x＝2的左側(cè)，如下圖所示，

則函數(shù)在AB段和點(diǎn)C右側(cè)，

故：﹣2≤x≤n，即：在﹣2≤n2﹣2≤x≤n2﹣1≤n，

解得：n≤；

當(dāng)x＝n在y軸右側(cè)時(shí)，（n≥0），

同理可得：n≥；

綜上：n≤或n≥．