Question

如圖（1），將Rt△AOB放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，斜邊OB在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，∠AOB的平分線OC交AB于C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC-CO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO-Oy以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）OC、BC的長；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)P在OC上、Q在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形AOB中根據(jù)OB和cos60°，利用三角函數(shù)的定義求出OA，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函數(shù)的定義即可求出OC的長，根據(jù)等角對等邊可知BC等于OC；
（2）分兩種情況考慮：第一，P在BC邊上，根據(jù)速度和時(shí)間t得到PB等于CQ都等于t，過Q作DE與AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC減去PB，利用三角形的面積公式即可列出S與t的函數(shù)關(guān)系式；第二，當(dāng)P在邊CQ上時(shí)，同理可得S與t的關(guān)系式；
（3）分三種情況考慮：第一，OP為等腰三角形的底邊時(shí)，由∠MOP等于∠MPO都等于30°，則∠QOP為60°，得到PQ與OQ垂直，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OP等于2OQ，分別表示出OP和OQ代入即可得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第二，當(dāng)OP為等腰三角形的腰時(shí)，過P作PN⊥OQ，得到∠QPN=45°，所以△QPN為等腰直角三角形得到PN=QN，分別表示出PN和QN列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第三，當(dāng)OP=PM時(shí)，PQ∥y，不存在三角形．

解答：解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
OA=OBcos60°=

3

，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴OC=

AO

cos30°

=2，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=

1

2

t(2-t)sin60°=-

3

4

t2+

3

2

t，
當(dāng)2≤t＜4時(shí)S=

1

2

(t-2)(4-t)sin60°=-

3

4

t²+

3 3

2

t-2

3

，
綜上：S=

- 3 4 t2+ 3 2 t 3 4 t2+ 3 3 2 t-2 3

；

（3）（i）當(dāng)MO=MP時(shí)，∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ，
∴OP=2OQ，
∴4-t=2（t-2），
∴t=

8

3

；
（ii）當(dāng)OP=OM時(shí)，過P作PN⊥OQ于N，
則∠QPN=45°，
∴PN=QN，
∴

3

2

(4-t)=t-2-

1

2

(4-t)，解得t=2+

2

3

3

（iii）當(dāng)OP=PM時(shí)，PQ∥y，
此時(shí)∠MOP=∠OMP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此時(shí)不存在；
綜上，當(dāng)t=

8

3

或2+

2

3

3

時(shí)，△OPM為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)已知的邊和角利用三角函數(shù)的定義求出未知邊和角，掌握直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半及等腰三角形的性質(zhì)與判斷，注意靈活運(yùn)用分類討論的方法解決實(shí)際問題，是一道綜合題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意考慮問題要全面．