Question

已知直線與y軸交于點(diǎn)B（0，1），與拋物線交于x軸上一點(diǎn)A，且tan∠BAO=

1

2

，而拋物線的頂點(diǎn)為P（-3，-3）．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，求△PAC的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線的解析式為：y=mx+n，把A和B的坐標(biāo)分別代入求出m和n的值即可，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，由題意可知h=-3，k=-3，再把A的坐標(biāo)代入即可求出a的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式；
（2）由（1）中的拋物線解析式可設(shè)y=0，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，又因?yàn)槿�角形PAB中，AC邊上的高是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，利用三角形的面積公式即可求出△PAC的面積．

解答：解：（1）設(shè)直線的解析式為：y=mx+n，
∵線與y軸交于點(diǎn)B（0，1），與拋物線交于x軸上一點(diǎn)A，且tan∠BAO=

1

2

，
∴OA=2，
∴A（-2，0），
把A和B的坐標(biāo)分別代入y=mx+n得：

1=n 0=-2m+n

，
解得：

m= 1 2 n=1

，
∴直線的解析式為y=

1

2

x+1，
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，
∵拋物線的頂點(diǎn)為P（-3，-3），
∴y=a（x+3）²-3，
把A（-2，0）代入得：0=a（-2+3）²-3，
∴a=3，
∴y=3（x+3）²-3；

（2）設(shè)y=0，則0=3（x+3）²-3，
∴x=-2或-4，
∴點(diǎn)C（-4，0），
∴OC=4
∴AC=OC-OA=2，
∴△PAC的面積為：

1

2

×AC×3=

1

2

×2×3=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題和二次函數(shù)于坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題以及三角形的面積公式，題目的綜合性不小，難度不大．