Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)A（-5，0），兩點(diǎn)，連接AB，BO．

（1）求拋物線表達(dá)式；

（2）點(diǎn)C是第三象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△AOC與△AOB全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)______；

（3）若點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AO向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度（當(dāng)點(diǎn)H到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)D也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，以DF為邊，在DF左側(cè)作等邊三角形DGF（當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）．過(guò)點(diǎn)H作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)L，延長(zhǎng)HL到點(diǎn)M，使得LM=HL，以HM為邊，在HM的右側(cè)作等邊三角形HMN（當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)）．當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△DGF有一條邊所在直線恰好過(guò)△HMN的重心，直接寫出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）1或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，當(dāng)與全等，如圖1，分兩種情況：由對(duì)稱性可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的重心時(shí)，如圖2，先根據(jù)特殊的三角函數(shù)值計(jì)算，根據(jù)，列方程，可得的值；②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的重心時(shí)，如圖3，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得結(jié)論．

解：（1）把，，兩點(diǎn)代入拋物線中得：

，

解得：，

；

（2）如圖1，，，，

，，，

，

是直角三角形，且，

當(dāng)與全等，如圖1，分兩種情況：

①在軸的上方，由對(duì)稱得：，；

②在軸的下方，同理得：，，，；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，或，；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的重心時(shí)，如圖2，

連接，

，且是等邊三角形，

在上，

由題意得：，，

由（2）知：，，

，

，

中，，，

，

軸，軸，

，

四邊形是矩形，

是重心，

，

，

，

解得：；

②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的重心時(shí)，如圖3，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

綜上，的值是或．

故答案為：或．