Question

如圖，一張矩形紙片ABCD中，AD＞AB．將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落到BC邊上的點D′，折痕AE交DC于點E．
（1）試用尺規(guī)在圖中作出點D′和折痕AE（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接DD′、AD′、ED′，則當(dāng)∠ED′C=______°時，△AD′D為等邊三角形；
（3）若AD=5，AB=4，求ED的長．
（4）在（3）的條件下，折痕AE上存在一點F，它到點D的距離等于它到邊BC的距離，在圖中畫出這個點，并直接寫出FD的長．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）當(dāng)∠ED′C=30°時，
∵DE=D′E，∴∠ED′D=∠D′DE，
∵∠ED′C=30°，
∠ED′D+∠D′DE+∠ED′C=90°，
∴∠ED′D=∠D′DE=30°，
∴∠ADD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△AD′D為等邊三角形，
故答案為：30；

（3）∵AD=5，AB=4，
∴AD′=5，
∴BD′==3，
∴CD′=5-3=2，
設(shè)DE=D′E=x，
則EC=4-x，
故EC²+D^′C²=D^′E²，
即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=，
故ED的長為：．

（4）解：如圖所示，設(shè)PF⊥CB，
∵DP=FP，
由翻折變換的性質(zhì)可得DP=D′P，
∴FP=D′P，
∴FP⊥CB，
∴D′，F(xiàn)，P三點構(gòu)不成三角形，
∴F，D′重合分別延長AE，BC相交于點G，
∵AD平行于CB，
∴∠DAG=∠AGC，
∵∠DAG=∠D′AG，AGC=∠D′AG，
∴GD′=AD′=AD=5，
∵PD′（PF）⊥CB，
∴PD′∥AB，
∴△ABG∽△PD′G，
∵Rt△ABD′中，AD′=5，AB=4，
∴BD′=3，BG=BD′+D′G=3+5=8，
∴△ABG與△PD′G的相似比為8：5，
∴AB：PD′=8：5，
∵AB=4，
∴PD′=2.5，即相等距離為2.5．
分析：（1）以AD長為半徑畫弧與BC交于點D′，再做出∠DAD′的平分線，即可得出符合要求的圖形；
（2）利用等邊三角形的判定，得出當(dāng)∠ED′C=30°時，△AD′D為等邊三角形；
（3）利用勾股定理以及翻折變換性質(zhì)得出DE=D′E=x，EC=4-x，進(jìn)而得出即可．
（4）利用翻折變換的性質(zhì)得出F，D′重合，進(jìn)而利用△ABG∽△PD′G，求出FD的長即可．
點評：此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理和基本作圖，熟練應(yīng)用翻折變換圖形翻折前后圖形不變是解決問題的關(guān)鍵．