Question

23、如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．
（1）求證：DE=DA；
（2）找出圖中一對相似三角形，并證明．

Answer 1

分析：（1）由于CE⊥BD，則∠CED=90°，而∠BDC=60°，則∠DCE=30°，在Rt△CDE中就有CD=2DE，又CD=2DA，等量代換有2DE=2DA，再利用等式性質(zhì)有DE=DA；
（2）△ACE∽△AED．由于DE=DA，∠BDC=60°，利用三角形內(nèi)角和定理、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)可求∠AED=∠EAD=30°，于是∠ADE=120°，∠AEC=120°，那么∠ADE=∠AEC，∠EAD=∠CAE，故△ACE∽△AED．

解答：解：（1）證明：∵CE⊥BD于E，∠BDC=60°，
∴∠DCE=30°，
∴CD=2DE，
又∵CD=2DA，
∴DE=DA；

（2）△ACE∽△AED．
∵DE=DA，∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，∠ADE=120°，
∵∠CEA=∠CED+∠AED=120°，
∴∠DCE=∠DEA=30°，∠CEA=∠ADE=120°，
∴△ACE∽△AED．

點評：本題利用了直角三角形中30°的角所對的邊等于斜邊的一半、相似三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、等式性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)．