Question

如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，則按要求完成下列題目．
（1）四邊形EFGH是

平行四邊

形；
（2）四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接BD，再利用三角形中位線定理可得FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，EH∥BD，EH=

1

2

BD．進(jìn)而得到FG∥EH，且FG=EH，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證出結(jié)論；
（2）菱形是鄰邊相等的平行四邊形．由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，所以只需四邊形ABCD的對(duì)角線相等即可證得平行四邊形EFGH是菱形．

解答：（1）解：如圖，連接BD．
∵F，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，
所以FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD．
∵E，H分別是AB，DA的中點(diǎn)．
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD．
∴FG∥EH，且FG=EH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
故填：平行四邊；

（2）AC=BD．
理由如下：如圖，連AC．
由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=

1

2

BD，HG=

1

2

AC，
∴當(dāng)AC=BD時(shí)，F(xiàn)G=HG，
∴平行四邊形EFGH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了中點(diǎn)四邊形，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．