Question

（2012•大興區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+2，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）如果用含a的代數(shù)式表示b，那么b=

-a

；
（2）如圖所示，如果該圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0）．
①求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P到x軸與y軸的距離相等，則稱點(diǎn)P為等距點(diǎn)．求出這個(gè)二次函數(shù)圖象上所有等距點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)a取a₁，a₂時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸正半軸分別交于點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)N（n，0）．如果點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊，且點(diǎn)M和點(diǎn)N都在點(diǎn)（1，0）的右邊．試比較a₁和a₂的大小．

Answer 1

分析：（1）直接將點(diǎn)（1，2）代入拋物線的解析式中，即可得到a、b間的關(guān)系式．
（2）①已知拋物線圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，且只有兩個(gè)待定系數(shù)，利用待定系數(shù)法求解即可．
②P到x軸、y軸的距離相等，那么P點(diǎn)必在直線y=x或y=-x上，這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)，即為符合條件的等距點(diǎn)．
（3）首先根據(jù)（1）的結(jié)論，用a表示出函數(shù)的解析式，然后分別將M、N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，分別用m、n表示出a₁、a₂，通過做差可比較出a₁、a₂的大�。�

解答：解：（1）將（1，2）代入y=ax²+bx+2中，得：
a+b+2=2，得：b=-a．

（2）①∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（-1，0）
可得

a+b+2=2 a-b+2=0

，
解得

a=-1 b=1

，
即y=-x²+x+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，

9

4

）．

②該函數(shù)圖象上等距點(diǎn)的坐標(biāo)即為此函數(shù)與函數(shù)y₁=x和函數(shù)y₂=-x的交點(diǎn)坐標(biāo)

y=-x2+x+2 y=x

，

y=-x2+x+2 y=-x

，
解得P₁（

2

，

2

）、P₂（-

2

，-

2

）、P₃（1+

3

，-1-

3

）、P₄（1-

3

，

3

-1）．

（3）∵二次函數(shù)與x軸正半軸交于點(diǎn)（m，0）且a=-b，
∴a₁m²-a₁m+2=0，即 a₁=

2

m-m2

，
同理 a₂n²-a₂n+2=0，a₂=

2

n-n2

，
故 a₂-a₁=

2

n-n2

-

2

m-m2

=

2(m-n)(1-m-n)

mn(1-m)(1-n)

，
∵n＞m＞1，故 a₂-a₁=

2(m-n)(1-m-n)

mn(1-m)(1-n)

＞0，
∴a₁＜a₂．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及不等式的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，難度適中．