Question

22、如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE．給出下列五個關系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個關系式作為題設，另外兩個作為結論，構成一個命題．
（1）用序號寫出一個真命題（書寫形式如：如果×××，那么××）．并給出證明；
（2）用序號再寫出三個真命題（不要求證明）；
（3）加分題：真命題不止以上四個，想一想，就能夠多寫出幾個真命題，每多寫出一個真命題就給你加1分，最多加2分．

Answer 1

分析：（1）如果①②③，那么④⑤，延長AE交BC的延長線于F，易得△ADE≌△FCE，可得到點E是AF的中點，故△ABF是等腰三角形，從而有：∠3=∠4，AD+BC=CF+BC=BF=AB；
（2）還結合如圖，證得如果①②④，那么③⑤，如果①③④，那么②⑤，如果①③⑤，那么②④．

解答：解：（1）如果①②③，那么④⑤
證明：如圖，延長AE交BC的延長線于F
∵AD∥BC，
∴∠1=∠F
又∵∠AED=∠CEF，DE=EC
∴△ADE≌△FCE
∴AD=CF，AE=EF
∵∠1=∠F，∠1=∠2，
∴∠2=∠F
∴AB=BF，
∴∠3=∠4，
∴AD+BC=CF+BC=BF=AB；
（說明：其他真命題的證明可參照上述過程相應給分）
（2）如果①②④，那么③⑤
如果①③④，那么②⑤
如果①③⑤，那么②④；
（3）若（1）（2）中四個命題含假命題（“如果②③④，那么①⑤”），則不加分，若（3）中含假命題，也不給分．

點評：本題考查與梯形有關的問題，在梯形中通常作輔助線來構造三角形，來轉移有關線段來求解．