Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù) 的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE．有下列四個結論：
①△CEF與△DEF的面積相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正確的結論是（ ）

A.①②
B.①②③
C.①②③④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①設D（x， ），則F（x，0），
由圖象可知x＞0，
∴△DEF的面積是： ×| |×|x|=2，
設C（a， ），則E（0， ），
由圖象可知： ＜0，a＞0，
△CEF的面積是： ×|a|×| |=2，
∴△CEF的面積=△DEF的面積，
故①正確；②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正確；③∵C、D是一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù) 的圖象的交點，
∴x+3= ，
解得：x=﹣4或1，
經(jīng)檢驗：x=﹣4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中 ，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正確；④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正確；
正確的有4個．
故選：C．

【考點精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質(zhì):當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．