Question

（2012•甘孜州）如圖，兩個(gè)半圓外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上，并都與直線(xiàn)y=x相切．若半圓O₁的半徑為1，則半圓O₂的半徑R=

3+2

2

．

Answer 1

分析：作O₁A⊥直線(xiàn)y=x于A，作O₂B⊥直線(xiàn)y=x于B，O₁C⊥O₂B于C，則O₁C∥直線(xiàn)y=x，所以∠CO₁O₂=∠AOO₁，由于直線(xiàn)y=x平分∠x(chóng)oy，即∠AOO₁=45°，得到∠CO₁O₂=45°，判斷△CO₁O₂為等腰直角三角形，然后根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和兩圓相切的性質(zhì)得O₁A=1，O₂B=R，O₁O₂=R+1，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到O₁O₂=

2

O₂C，即R+1=

2

（R-1），最后解關(guān)于R的方程即可．

解答：解：作O₁A⊥直線(xiàn)y=x于A，作O₂B⊥直線(xiàn)y=x于B，O₁C⊥O₂B于C，如圖，
則O₁C∥直線(xiàn)y=x，
∴∠CO₁O₂=∠AOO₁，
∵直線(xiàn)y=x平分∠x(chóng)oy，
∴∠AOO₁=45°，
∴∠CO₁O₂=45°，
∴△CO₁O₂為等腰直角三角形，
∵⊙O₁和⊙O₂與直線(xiàn)y=x相切，
∴O₁A=1，O₂B=R，
∴BC=1，O₂C=R-1，
而⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=R+1，
∴O₁O₂=

2

O₂C，即R+1=

2

（R-1），
∴R=3+2

2

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故答案為3+2

2

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和兩圓相切的性質(zhì)以及第一象限的角平分線(xiàn)的解析式；會(huì)運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．