Question

【題目】在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，且BD＝2DC，E是AD的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)E點(diǎn)的直線l．

（1）如圖1，當(dāng)l經(jīng)過(guò)C，交AB于G，求證：BG＝3AG；

（2）如圖2，當(dāng)l平分△ABC的面積，分別交BC，AC于M，N，求的值；

（3）若AB＝8，AC＝6，BC＝12，且l平分△ABC的周長(zhǎng)，分別交BC，AD于M，N，直接寫出BM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）=；（3）BM＝.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AF，利用點(diǎn)E是AD中點(diǎn)構(gòu)造△AEF≌△DEC，得到AF＝CD，即BC＝3AF．又由平行得△AFG∽△BCG，即得到BG與AG的比即為相似比等于BC與AF的比，得證．

（2）連接CE與BE，由AE＝DE可得等底同高的△AEC與△DEC面積相等；由BD＝2DC可得同高的△ABD與△ACD面積有2倍關(guān)系．故可設(shè)這最小的兩個(gè)△AEN與△CEN的面積分別為a和b，用a和b表示圖中所有三角形面積．過(guò)點(diǎn)A作BC平行線AG，構(gòu)造△AEH≌△DEM與△ANH∽△CNM，根據(jù)面積比求得△ANH與△CNM的相似比，進(jìn)而求得a與b的關(guān)系．而可看作同高的△BME與△CME的面積比，根據(jù)a與b的關(guān)系即能求得．

（3）構(gòu)造△AEH≌△DEM與△ANH∽△CNM，設(shè)AH＝DM＝x，用x表示△ABC三邊上的線段，再利用△ANH∽△CNM的對(duì)應(yīng)邊成比例列得關(guān)于x的方程，求出x即求得BM的長(zhǎng)．

解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交CG延長(zhǎng)線與點(diǎn)F

∴∠F＝∠DCE

∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)

∴AE＝DE

在△AEF與△DEC中

，

∴△AEF≌△DEC（AAS）

∴AF＝CD

∵BD＝2DC

∴BC＝BD+DC＝3DC＝3AF

∵AF∥BC

∴△AFG∽△BCG

∴

∴BG＝3AG

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH∥BC，交直線MN與點(diǎn)H，連接BE、CE

∴∠H＝∠DME

∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)

∴AE＝DE

在△AEH與△DEM中

∴△AEH≌△DEM（AAS）

∴S△AEH＝S△DEM

設(shè)S△AEN＝a，S△CEN＝b

∴S△AEC＝S△AEN+S△CEN＝a+b

∴S△DEC＝S△AEC＝a+b，S△DEB＝S△AEB

∴S△ACD＝S△DEC+S△AEC＝2a+2b

∵BD＝2DC

∴S△ABD＝2S△ACD＝4a+4b

∴S△DEB＝S△AEB＝S△ABD＝2a+2b，S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝6a+6b

∵直線MN平分S△ABC

∴S四邊形ABMN＝S△CMN＝S△ABC＝3a+3b

∴S△BEM＝S四邊形ABMN﹣S△ABE﹣S△AEN＝3a+3b﹣（2a+2b）﹣a＝b，S△DEM＝S△CMN﹣S△DEC﹣S△CEN＝3a+3b﹣（a+b）﹣b＝2a+b

∴S△AEH＝S△DEM＝2a+b

∴S△ANH＝S△AEH﹣S△AEN＝2a+b﹣a＝a+b

∵AH∥BC

∴△ANH∽△CNM

∴

∴

即a

∴，

∴的值為；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AH∥BC，交直線MN與點(diǎn)H，

由（2）得：△AEH≌△DEM，△ANH∽△CNM

∴設(shè)AH＝DM＝x

∵BC＝12，BD＝2DC

∴DC＝4，BD＝8

∴BM＝BD﹣MD＝8﹣x，CM＝DC+MD＝4+x

∵直線MN平分△ABC周長(zhǎng)，AB＝8，AC＝6

∴MD+DC+CN＝AN+AB+BM＝（AB+AC+BC）＝13

∴CN＝13﹣MD﹣CD＝13﹣x﹣4＝9﹣x，AN＝13﹣AB﹣BM＝13﹣8﹣（8﹣x）＝x﹣3

∵△ANH∽△CNM

∴

∴

解得：x1＝，x2＝（舍去）

∴BM