Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14，點(diǎn)E、F、G分別在BC、AB、AD上，且BE=3，BF=2，以EF、FG為鄰邊作?EFGH，設(shè)AG=x．
（1）直接寫出點(diǎn)H到AD的距離；
（2）若點(diǎn)H落在梯形ABCD內(nèi)或其邊上，求△HGD面積的最大值與最小值；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△EHC是等腰三角形．

Answer 1

答：（1）點(diǎn)H到AD的距離為2．


（2）解：∵△HGD中GD邊上的高為2，
①當(dāng)△HDG面積取大值時(shí)，底邊GD最大，
此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，如圖1：
∴GD=AD=14，
∴S_△HGD的最大值是14；
②△HGD面積取得最小值時(shí)，底邊GD最小，H越接近CD，GD就越小，
即點(diǎn)H在CD邊上，如圖2：
過C作CP⊥AD于P，過H點(diǎn)作HM⊥AD于M，
∵CP=DP=6，
∴∠D=45°，
則MD=MH=2，
顯然△HMG≌△FBE，
∴GM=BE=3，
∴GD=GM+MD=5，
∴S_△HGD的最小值是5，
答：△HGD面積的最大值是14，最小值是5．

（3）解：過H作HN⊥BC于N，如圖3：
顯然Rt△FAG≌Rt△HNE，
∵EC=BC-BE=5，HN=FA=AB-FB=4，EN=AG=x，
∵△EHC是等腰三角形，
①當(dāng)EH=EC時(shí)，EH=5，HN=4，
∴EN=3即x=3，
②當(dāng)HC=EC時(shí)，HC=5，HN=4，
∴NC=3　EN=EC-NC=2，即x=2，
當(dāng)x=8時(shí)，如右圖，也可以成立．
③當(dāng)EH=HC時(shí)，EN=NC=EC=2.5，
綜上所述，當(dāng)x=2或2.5或3時(shí)，△EHC是等腰三角形，
答：當(dāng)x為3或8或2.5時(shí)，△EHC是等腰三角形．
分析：（1）證三角形BEF、HMG全等，即可求出答案；
（2）只要求出GD的最大GD=AD和最小值H在CD上，過C作CP⊥AD于M，則MD=MH=2，求出GD=5即可；
（3）過H作HN⊥BC于N，求出△EHC是等腰三角形，求出①當(dāng)EH=EC時(shí)EN=3；②當(dāng)HC=EC時(shí)，EN=2，當(dāng)x=8時(shí)，也成立．③當(dāng)EH=HC時(shí)，EN=2.5即可得出答案．
點(diǎn)評：本題主要考查對直角梯形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出所有的x的值是解此題的關(guān)鍵．