Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．

（1）如圖2，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，當(dāng)面積最大時(shí)，求的最小值；

（2）將過點(diǎn)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)中的直線分別與直線、直線交于點(diǎn)、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或．

【解析】

（1）首先求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)及直線CD解析式，然后連接PC，PD，過點(diǎn)P作PH∥x軸交CD于H，設(shè)P（x，），則H（，），列出面積的二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，求出sin∠DCE＝，再過點(diǎn)Q作QF⊥CD于F，根據(jù)sin∠QCF＝，可得，則，進(jìn)而得到當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)PF⊥CD，PF為的最小值，最后利用面積法求出PF即可；

（2）當(dāng)CM＝CN時(shí)，過點(diǎn)M作MG∥x軸，可得△CGM∽△COA，設(shè)GM＝3a，則CG＝4a，CM＝5a，根據(jù)CM＝CN可求出GN＝a，然后由平行得出△MGN∽△DON，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出ON，即可得到CM＝CN的值，當(dāng)CM＝MN和CN＝MN時(shí)，同理可得答案．

解：（1）在拋物線中，令y＝0，即，

解得：，，

∴B（－4，0），A（3，0），

令x＝0，則，

∴C（0，4），

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

∴D（－2，0），

設(shè)直線CD解析式為：y＝kx＋4（k≠0），

代入（－2，0）得：0＝－2k＋4，

解得：k＝2，

∴直線CD解析式為：y＝2x＋4，

如圖，過點(diǎn)P作PH∥x軸交CD于H，

設(shè)P（x，），則H（，），

∴PH＝，

∴，

∴當(dāng)x＝時(shí)，面積的最大值為，

把x＝代入得：，

∴P（，），

∵OB＝OC＝4，

∴∠CBO＝45°，

過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則△BED是等腰直角三角形，

∵BD＝2，

∴BE＝DE＝，

∵CD＝，

∴在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，

過點(diǎn)Q作QF⊥CD于F，

在Rt△QCF中，sin∠QCF＝，

∴，

∴，

∴當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)PF⊥CD，PF為的最小值，

∴，

∴，

即當(dāng)面積最大時(shí)，的最小值為；

（2）由（1）知，OA＝3，OC＝4，

∴AC＝5，

如圖，當(dāng)CM＝CN時(shí)，過點(diǎn)M作MG∥x軸，

則△CGM∽△COA，

∴，即，

設(shè)GM＝3a，則CG＝4a，CM＝5a，

∴CN＝CM＝5a，

∴GN＝a，

∵MG∥AD，

∴△MGN∽△DON，

∴，

∵OD＝2，

∴ON＝，

∴CM＝CN＝；

當(dāng)CM＝MN時(shí)，同理可得CM＝，

當(dāng)CN＝MN時(shí)，同理可得CM＝，

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或．