Question

如圖，直線y=3x+3與 x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A，O為原點(diǎn)，ΔAOB繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90^o后得到ΔCOD。
【小題1】求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)
【小題2】求經(jīng)過(guò)A、B、C、三點(diǎn)的拋物線的解析式
【小題3】設(shè)E為拋物線的頂點(diǎn)，連接DE，在線段DE上是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與ΔDOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【小題1】∴A（0，3）    B（-1，0）C（3，0）    D（0，1）
【小題2】y=-x²+2x+3
【小題3】存在點(diǎn)P，當(dāng)P為（，2）時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與ΔDOC相似。解析:
解：（1）在y=3x+3中，令y=0得x=-1，令x=0得y=3
∴A（0，3）    B（-1，0）
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OD=OB=1  OC=OA=3
∴C（3，0）    D（0，1）…………………………  3分
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x₁)( x-x₂) 
∵點(diǎn)B（-1，0）    C（3，0）
∴y=a（x+1）（x-3）
把A（0，3）代入y=a（x+1）（x-3）得a=-1
∴ y=-（x+1）（x-3）
即y=-x²+2x+3 ………………………… 6分
（3）  ∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴E（1，4）…………………………  7分
作EF⊥y軸于點(diǎn)F，則EF=1   OF=4
∴ FD=4-1=3
∵tan∠ADE=    tan∠DCO=
∴∠ADE=∠DCO
∵∠ODC+∠OCD=90^o
∴∠ODC+∠ADE=90 ^o
∴∠CDE=90 ^o…………………………8分
∴∠EDC=∠DOC=90 ^o
①當(dāng)時(shí)，ΔODC∽ΔDPC
∵
∴     ∴…………………9分
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G
∵tan∠EDF=
∴設(shè)PG=X   DG=3x
∵DG²+PG²=DP²
∴      ∴ （舍去負(fù)值）
∴     ∴OE=1+1=2
∴P（，2）………………………… 10分
當(dāng)時(shí)，ΔODC∽ΔDCP
∴        ∴DP=
∵  所以不合題意舍去……11分
∴存在點(diǎn)P，當(dāng)P為（，2）時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與ΔDOC相似。