Question

現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)：我們知道，若銳角α的三角函數(shù)值為sinα=m，則可通過(guò)計(jì)算器得到角α的大小，這時(shí)我們用arcsinm來(lái)表示α，
記作：α=arcsinm；若cosα=m，則記α=arccosm；若tanα=m，則記α=arctanm．
解決問(wèn)題：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在AB邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)G在邊AD上．連接ED，F(xiàn)G，交點(diǎn)為H．
（1）如圖1，若AE=BF=GD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EHF=

 

°；
（2）如圖2，若EF=

2

5

CD，GD=

2

5

AE，設(shè)∠EHF=α．請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EHF的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出α．

Answer 1

分析：（1）作輔助線(xiàn)，連接FC和GC，可證得△FCG為等腰直角三角形，利用∠EHF=∠GFC=45°，問(wèn)題可求．
（2）作輔助線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作FM∥ED交CD于M，連接GM，則會(huì)有∠EHF=∠GFM，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到△GFM中，據(jù)已知正方形關(guān)系，可證得四邊形EFMD為平行四邊形，△GFM為直角三角形，于是，α可求．

解答：解：（1）45°；
連接FC和CG（如圖1），由題意可知ABCD為正方形，AE=BF=GD，
∴△AED≌△BFC≌△DGC（SAS），
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；

（2）答：不會(huì)變化．
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FM∥ED交CD于M，連接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四邊形EFMD為平行四邊形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=

2

5

CD，GD=

2

5

AE，
∴

EF

CD

=

GD

AE

=

2

5

．
∴

DM

AD

=

GD

AE

，
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴

GM

DE

=

2

5

，∠1=∠2，
∴

GM

FM

=

2

5

，
∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠4=90°．
∴∠GMF=90°．
在Rt△GFM中，tanα=

GM

FM

=

2

5

．
∴α=arctan

2

5

．
另解2：作EM⊥CD于M，連接GM，F(xiàn)M可解，應(yīng)該簡(jiǎn)單些．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生對(duì)輔助線(xiàn)的運(yùn)用和綜合推理能力．