Question

一位祖籍揚(yáng)州的臺(tái)商，應(yīng)市政府的邀請，回鄉(xiāng)考察投資環(huán)境，誰知家鄉(xiāng)的變化竟讓他迷路了．他驅(qū)車在一條東西走向的公路上由西向東緩慢地前行著．車載GPS（全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)）顯示（如圖），市政府所在地（點(diǎn)C）在其（點(diǎn)A）南偏東45°的方向上，相距4km．他繼續(xù)向東前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)B的位置，發(fā)現(xiàn)市政府所在地在其南偏西60°的方向上．
（1）試求該臺(tái)商由西向東行進(jìn)的路程AB是多少千米（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）在臺(tái)商行駛的公路南側(cè)有兩條與之平行，且距離這條公路分別約是0.5km的向陽大道和3km的興寶大道，請估算市政府所在地靠近哪條大道？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，利用已知條件分別求得AD、BD的長，那么AB的長就得到了．
（2）讓0.5與3分別與CD作差，哪個(gè)絕對值小就越靠近其對應(yīng)的大道．

解答：解：（1）如圖，由題意，可知AC=4，∠DAC=45°，∠ABC=30°，
過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=4，∠DAC=45°，
∴AD=AC•cos∠DAC=4×

2

2

=2

2

，CD=AD=2

2

，
在Rt△BCD中，∵CD=2

2

，∠ABC=30°
∴BD=CD•cot∠ABC=2

2

×

3

=2

6

，
∴AB=AD+BD=2

2

+2

6

∴該臺(tái)商由西向東前進(jìn)了（2

2

+2

6

）千米；

（2）∵2

2

-0.5＞3-2

2

∴市政府所在地靠近興寶大道．

點(diǎn)評：本題以投資商迷路為背景，考查學(xué)生對應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)建模思想的掌握情況．解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，同時(shí)本題還考查了學(xué)生估算的技能．