Question

（2013•長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圓心O在△ABC內(nèi)部，且⊙O經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，若BC=8，AO=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：連結(jié)BO、CO，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，由于△ABC是等腰直角三角形，故∠BAC=90°，AB=AC，再根據(jù)OB=OC，可知直線OA是線段BC的垂直平分線，故AD⊥BC，且D是BC的中點(diǎn)，在Rt△ABC中根據(jù)AD=BD=

1

2

BC，可得出BD=AD，再根據(jù)AO=1可求出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得出OB的長(zhǎng)．

解答：解：連結(jié)BO、CO，延長(zhǎng)AO交BC于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC
∵O是圓心，
∴OB=OC，
∴直線OA是線段BC的垂直平分線，
∴AD⊥BC，且D是BC的中點(diǎn)，
在Rt△ABC中，AD=BD=

1

2

BC，
∵BC=8，
∴BD=AD=4，
∵AO=1，
∴OD=BD-AO=3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=

OD2+BD2

=

32+42

=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．