Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線x=

1

2

，OA=2，OD平分∠BOC交拋物線于點D（點D在第一象限）．
（1）求拋物線的解析式和點D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BPD的周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）點M是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點N，使A、D、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)對稱軸方程即可求出B點的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值；OD平分∠BOC，那么直線OD的解析式為y=x，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點的坐標(biāo)；
（2）由于BD的長為定值，若△BPD的周長最短，那么PB+PD應(yīng)該最短，由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接AD，直線AD與對稱軸的交點即為所求的P點，可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可得到P點坐標(biāo)；
（3）此題要分兩種情況討論：
①以AD為對角線的平行四邊形AMDN，此時MD∥x軸，則M、D的縱坐標(biāo)相同，由此可求得M點的坐標(biāo)；
②以AD為邊的平行四邊形ADNM，由于平行四邊形是中心對稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標(biāo)的絕對值相等，可據(jù)此求出M點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵OA=2
∴A（-2，0）
∵A與B關(guān)于直線x=

1

2

對稱
∴B（3，0），
由于A、B，兩點在拋物線上，
∴

-2-2b+c=0 - 9 2 +3b+C=0

；
解得

b= 1 2 c=3

；
∴y=-

1

2

x2+

1

2

x+3
過D作DE⊥x軸于E
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE
即x_D=y_D，
∴x=-

1

2

x2+

1

2

x+3，
解得x₁=2，x₂=-3（舍去）
∴D（2，2）；（4分）

（2）存在
∵BD為定值，
∴要使△BPD的周長最小，只需PD+PB最小
∵A與B關(guān)于直線x=

1

2

對稱，
∴PB=PA，只需PD+PA最小
∴連接AD，交對稱軸于點P，此時PD+PA最小，（2分）
由A（-2，0），D（2，2）可得
直線AD：y=

1

2

x+1（1分）
令x=

1

2

，y=

5

4

∴存在點P(

1

2

，

5

4

)，使△BPD的周長最�。�1分）

（3）存在．
（i）當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對角線時，MD∥AN，即MD∥x軸
∴y_M=y_D，
∴M與D關(guān)于直線x=

1

2

對稱，
∴M（-1，2）（1分）
（ii）當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時，
∵平行四邊形ADNM是中心對稱圖形，△AND≌△ANM
∴|y_M|=|y_D|，
即y_M=-y_D=-2，
∴令-

1

2

x2+

1

2

x+3=-2，即x²-x-10=0；
解得x1，2=

1± 41

2

，M(

1+ 41

2

，-2)或M(

1- 41

2

，-2)，（2分）
綜上所述：滿足條件的M點有三個M（-1，2），M(

1+ 41

2

，-2)或M(

1- 41

2

，-2）．（1分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論，以免漏解．