Question

 如圖，拋物線與軸交于A(-1,0),B(3,0) 兩點(diǎn).

(1) 求該拋物線的解析式；

(2) 設(shè)(1)中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足S_△PAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)(1)中拋物線交y 軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=x²-2x-3(2) 當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、(1,-4)時(shí)，S_△PAB=8. (3) 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2)

【解析】(1)∵拋物線y=x²+bx+c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-1,0)，B(3,0)

∴                 ┄ 2分

解之，得                    ┄ 3分

∴所求拋物線的解析式為：y=x²-2x-3  ┄ 4分

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，由題意，得

S_△ABC=×4×|y|=8                  ┄ 5分

∴|y|=4， ∴ y=±4                 ┄ 6分

當(dāng)y=4時(shí)， x²-2x-3=4    ∴ x₁=1+, x₂=1-               ┄ 7分

當(dāng)y=-4時(shí)，x²-2x-3=-4   ∴ x=1                               ┄ 8分

∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、(1,-4)時(shí)，S_△PAB=8. ┄ 9分

(3) 解法1：

在拋物線y=x²-2x-3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q, 使得ΔQAC的周長(zhǎng)最小.    ┄ 10分

∵AC長(zhǎng)為定值，∴要使ΔQAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最小.

∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B(3,0),

 拋物線y=x²-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)

∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)              ┄ 11分

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3.

∵直線BC過點(diǎn)B(3,0)  ∴ 3k-3=0  ∴ k=1.

∴直線BC的解析式為  y=x-3                                   ┄ 12分

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2.

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2).                                        ┄ 13分

(3) 解法2：

在拋物線y=x²-2x-3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q ，使得ΔQAC的周長(zhǎng)最小.   ┄ 10分

∵AC長(zhǎng)為定值，∴要使ΔQAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最小

∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B(3,0),

拋物線y=x²-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)

∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn).              ┄ 11分

∵OC∥DQ,

∴ΔBDQ∽ΔBOC.

∴，即 .             ┄ 12分

∴DQ=2.  ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2).                               ┄ 13分

（1）已知了拋物線過B、C兩點(diǎn)，而拋物線的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)（1）中得出的拋物線的解析式，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能得出AB的長(zhǎng)．△PAB中，AB的長(zhǎng)為定值，那么可根據(jù)△PAB的面積求出P到AB的距離，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將其代入拋物線的解析式中（分正負(fù)兩個(gè)值）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此只需連接BC，直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)．可根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．