Question

已知：PA=

2

，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：過A點(diǎn)作AE⊥PB于E，由∠APB=45°得△APE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有PE=AE=

2

2

PA=

2

2

×

2

=1，則BE=3，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理可計(jì)算出AB=

10

；由于AD=AB，∠DAB=90°，則把△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFB，AD與AB重合，PA旋轉(zhuǎn)到AF的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，則△APF為等腰直角三角形，得到∠APF=45°，PF=

2

AP=

2

×

2

=2，即有∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°，然后在Rt△FBP中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出FB的長(zhǎng)，即可得到PD的長(zhǎng)．

解答：解：過A點(diǎn)作AE⊥PB于E，如圖，
∵∠APB=45°，
∴△APE為等腰直角三角形，
∴PE=AE=

2

2

PA=

2

2

×

2

=1，
∵PB=4，
∴BE=PB-PE=4-1=3，
在Rt△AEB中，AB=

BE2+AE2

=

32+12

=

10

；
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFB，AD與AB重合，PA旋轉(zhuǎn)到AF的位置，如圖，
∴AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，
∴△APF為等腰直角三角形，
∴∠APF=45°，PF=

2

AP=

2

×

2

=2，
∴∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°，
在Rt△FBP中，PB=4，PF=2，
∴FB=

PB 2+PF2

=

42+22

=2

5

，
∴PD=2

5

，
所以AB和PD的長(zhǎng)分別為

10

、2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角線段，對(duì)應(yīng)線段線段；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．