Question

如圖，一根木棒AB長為2a，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾斜角∠ABO=60°，若木棒沿直線NO下滑，且B端沿直線OM向右滑行，則木棒中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，已知A端下滑到A′時，AA′=a，求木棒中點(diǎn)P隨之運(yùn)動到P′所經(jīng)過的路線長．

Answer 1

解：連接OP、OP′，如圖，
∵ON⊥OM，P為AB中點(diǎn)，
∴OP=AB=A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
當(dāng)A端下滑B端右滑時，AB的中點(diǎn)P到O的距離始終為定長a，
∴P是隨之運(yùn)動所經(jīng)過的路線是一段圓弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=a，
∵AA′=（-）a，OA′=OA-AA′=a，
∴sin∠A′B′O==，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的長==πa，
即P點(diǎn)運(yùn)動到P′所經(jīng)過路線PP′的長為πa．
分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP=AB=A′B′=OP′，即P是隨之運(yùn)動所經(jīng)過的路線是一段圓��；在Rt△AOB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠AOP=30°，OA=a，則易求出OA′=OA-AA′=a，即可得到△A′OB′為等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，則∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根據(jù)弧長公式計算即可．
點(diǎn)評：本題考查了弧長公式：l=（n為弧所對的圓心角的度數(shù)，R為半徑）．也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)．