Question

（12分）如圖1，在平面上，給定了半徑為的⊙，對于任意點(diǎn),在射線上取一點(diǎn),使得·＝，這種把點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)的變換叫做反演變換，點(diǎn)與點(diǎn)叫做互為反演點(diǎn)，⊙稱為基圓.
 
⑴如圖2，⊙內(nèi)有不同的兩點(diǎn)、，它們的反演點(diǎn)分別是、，則與∠一定相等的角是（   ▲  ）

A．∠

B．∠

C．∠

D．∠

⑵如圖3，⊙內(nèi)有一點(diǎn)，請用尺規(guī)作圖畫出點(diǎn)的反演點(diǎn)；（保留畫圖痕跡，不必寫畫法）.
⑶如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形．已知基圓的半徑為，另一個(gè)半徑為的⊙，作射線交⊙于點(diǎn)、，點(diǎn)、關(guān)于⊙的反演點(diǎn)分別是、，點(diǎn)為⊙上另一點(diǎn)，關(guān)于⊙的反演點(diǎn)為．求證：∠＝90°.

Answer 1

（1）（C）
（2）過作⊥交⊙于點(diǎn)，連.
過作⊥交射線于點(diǎn).
點(diǎn)即為所求.
（3）連、.
∵是⊙直徑，
∴∠＝90°.
∵∠是△的外角，
∴∠－∠＝∠.
∵點(diǎn)、關(guān)于⊙的反演點(diǎn)分別是，.
∴
∴△△
∴∠∠
同理：△△
∴∠∠ 
由等式性質(zhì)知：
∠－∠＝∠－∠
∴∠＝∠
即∠＝90°

此題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系