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        1. 某課外興趣小組在一次折紙活動中,折疊一張帶有條格的長方形紙片ABCD(如圖1),將點B分別與點A,A1,A2,…,D重合,然后用筆分別描出每條折痕與對應(yīng)條格所在直線的交點,用平滑的曲線順次連接各交點,得到一條曲線.
          探索
          如圖2,在平面直角坐標系xOy中,將長方形紙片ABCD的頂點B與原點O重合,BC邊放在x軸的正半軸上,AB=m,AD=n(m≤n),將紙片折疊,MN是折痕,使點B落在邊AD上的E處,過點E作EQ⊥BC,垂足為Q,交直線MN于點P,連接OP
          (1)求證:四邊形OMEP是菱形;
          (2)設(shè)點P坐標為(x,y),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.(用含m、n的式子表示)
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          (3)將長方形紙片ABCD如圖3所示放置,AB=8,AD=12,將紙片折疊,當(dāng)點B與點D重合時,折痕與DC的延長線交于點F.試問在這條折疊曲線上是否存在K,使得△KCF的面積是△KOC面積的數(shù)學(xué)公式,若存在,寫出點K的坐標;若不存在,請說明理由.
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          解:(1)∵AB∥EQ,
          ∴∠OMP=∠EPM,
          ∵∠EPM=∠OPM,
          ∴∠OMP=∠OPM,
          ∴OM=OP,
          ∵OM=EM,OP=EP,
          ∴四邊形OMEP是菱形.

          (2)∵E點的坐標為(x,m),
          OP=EP=m-y,
          ∴(m-y)2=x2+y2
          y=-+(0<x<).

          (3)根據(jù)(2)知,點K的坐標為(x,-+4).
          設(shè)EC的長為x,DE=BE=12-x,DC=8,
          x2+82=(12-x)2
          x=
          同理:GH=,DH=,
          △ECF∽△DHF,
          =,
          =,
          解得CF=5,
          ∴△ECF的面積為:CE•CF=××5=
          △OCK的面積為:×12(-+4).
          △KCF的面積:×(-+4)+
          根據(jù)△KCF的面積是△KOC面積得,××12(-+4)=×(-+4)+
          可求出x=4,
          所以K的坐標為:(4,1).
          分析:(1)如果四邊形的四邊相等,那么這個四邊形是菱形.
          (2)根據(jù)P點的坐標,可表示出E點的坐標,從而可知道OP的長,用勾股定理表示出解析式.
          (3)畫出圖形,從圖上可看出不存在.
          點評:本題考查了菱形的判定定理,矩形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì),相似三角形的面積比等于相似比的平方以及翻折變換的知識.
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          (1)求證:四邊形OMEP是菱形;
          (2)設(shè)點P坐標為(x,y),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.(用含m、n的式子表示)
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          ,若存在,寫出點K的坐標;若不存在,請說明理由.
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          (1)求證:DP=DQ;
          (2)如圖2,小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明;
          (3)如圖3,固定三角板直角頂點在D點不動,轉(zhuǎn)動三角板,使三角板的一邊交AB的延長線于點P,另一邊交BC的延長線于點Q,仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E,連接PE,若AB:AP=3:4,請幫小明算出△DEP的面積.

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