Question

（2013•寧波模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD=t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=

1

2

，EF⊥OD，垂足為F．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求線段EF、OF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)△ECA為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于a、c的方程組

16a+6×4+c=0 a-6+c=0

，通過(guò)解該方程組來(lái)求它們的值；
（2）通過(guò)相似三角形（△EDF∽△DAO）的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

EF

DO

=

ED

DA

，結(jié)合正切三角函數(shù)的定義求得EF=

1

2

t．由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例還得到

DF

OA

=

ED

DA

=

1

2

，則DF=

1

2

OA=2，所以，OF=t-2．
（3）如圖，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥x軸于點(diǎn)M，構(gòu)建矩形EFOM．當(dāng)當(dāng)△ECA為直角三角形時(shí)，需要分類討論：
當(dāng)∠CEA=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到CE²+AE²=AC²，把相關(guān)線段的數(shù)據(jù)代入可以列出關(guān)于t的方程(t-10)2+

1

4

t2+(t-2)2+(4+

1

2

t)2=80，通過(guò)解該方程即可求得t的值；
當(dāng)∠ECA=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理可得CE²+AC²=AE²，即(t-10)2+

1

4

t2+80=(t-2)2+(4+

1

2

t)2，通過(guò)解該方程得知點(diǎn)D與點(diǎn)C重合．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（-1，0），
∴

16a+6×4+c=0 a-6+c=0

，解得

a=-2 c=8

，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA，
∴△EDF∽△DAO，
∴

EF

DO

=

ED

DA

．
∵

ED

DA

=tan∠DAE=

1

2

，
∴

EF

DO

=

1

2

，
∴

EF

t

=

1

2

，∴EF=

1

2

t．
同理

DF

OA

=

ED

DA

，
∴DF=

1

2

OA=2，∴OF=t-2．

（3）∵拋物線的解析式為：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如圖，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則四邊形EFOM是矩形，
∴EF=OM．
∴在Rt△AEM中，EM=OF=t-2，AM=OA+AM=OA+EF=4+

1

2

t，
當(dāng)∠CEA=90°時(shí)，CE²+AE²=AC²，即(t-10)2+

1

4

t2+(t-2)2+(4+

1

2

t)2=80，解得：t=4
當(dāng)∠ECA=90°時(shí)，CE²+AC²=AE²，即(t-10)2+

1

4

t2+80=(t-2)2+(4+

1

2

t)2，解得：t=8．即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合．
綜上所述，t的值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．