Question

如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，已知點A（-，0），點C（0，3），點B是x軸上一點（位于點A的右側(cè)），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點C．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A、B兩點，求拋物線的解析式；
（3）線段BC上是否存在點D，使△BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可以得到∠ACB的度數(shù)．
（2）利用三角形相似求出點B的坐標，然后把A，B兩點的坐標代入拋物線求出拋物線的解析式．
（3）分別以OB為底邊和腰求出等腰三角形中點D的坐標．
解答：解：（1）∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過 點C，
∴∠ACB=90°．

（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•OB，
∵A（-，0），點C（0，3），
∴，OC=3，
又∵CO²=AO•OB，
∴，
∴OB=4，
∴B（4，0）把 A、B、C三點坐標代入得．

（3）①OD=DB，如圖：
D在OB 的中垂線上，過D作DH⊥OB，垂足是H，則H是OB中點．
Ⅴ
DH=，，
∴D，

②BD=BO，如圖：
過D作DG⊥OB，垂足是G，
∴==，
∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴=，
∴==，
∴BG=，DG=，
∴OG=BO-BG=，
∴D（，）．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）根據(jù)圓周角的性質(zhì)求出角的度數(shù)．（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定點D的坐標．