Question

【題目】如圖，BD是ABCD的對(duì)角線，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以5cm/s的速度沿DA運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BD-DC運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)C，在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB，交射線AB于點(diǎn)M，連接PQ，以PQ與QM為邊作□PQMN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），PQMN與ABCD重疊部分圖形的面積為S（cm2）．

（1）AP= cm（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在邊AB上時(shí)，求t的值．

（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)NQ，當(dāng)NQ與△ABD的一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）10-5t；（2）t= ；（3）見(jiàn)解析；（4）秒或秒或2秒．

【解析】

（1）先表示PD=t，可得AP=10-5t；

（2）如圖1，點(diǎn)N落在邊AB上，則AP=10-2t，PN=BQ=8t，證明△APN∽△ADB，列比例式得方程，可得t的值；

（3）分三種情況

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E，PQMN與ABCD重疊部分圖形是PQMN，

②當(dāng)＜t≤1時(shí)，如圖3，PQMN與ABCD重疊部分圖形是四邊形PQMG，

③當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖4，PQMN與ABCD重疊部分圖形是五邊形PQHBG，

根據(jù)三角形和四邊形面積和與差可得結(jié)論；

（4）分三種情況：①當(dāng)NQ∥AD時(shí)，如圖5，根據(jù)DQ=BQ=4=8t，得結(jié)論；

②當(dāng)NQ∥AB時(shí)，如圖6，根據(jù)PN=BQ=8t，列方程為：8t+8t=8-4t，得結(jié)論；

③如圖7，當(dāng)Q與C重合，P與A重合時(shí)，t=2．

（1）由題意得：PD=t，

∵AD=10，

∴AP=10-5t，

故答案為：（10-5t）；

（2）如圖1，點(diǎn)N落在邊AB上，則AP=10-2t，PN=BQ=8t，

∵PN∥BD，

∴△APN∽△ADB，

∴，

∴，

(105t)＝8t，

∴t＝.

（3）分三種情況：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E，PQMN與ABCD重疊部分圖形是PQMN，

則PE=3t．

S=BQBE=3t8t=24t2；

②當(dāng)＜t≤1時(shí)，如圖3，PQMN與ABCD重疊部分圖形是四邊形PQMG，則BG=3t，

，

，

∴；

③當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖4，PQMN與ABCD重疊部分圖形是五邊形PQHBG，

則PG=（10-5t）=8-4t，MQ=8，MG=BG+MB=6（t-1）+3t=9t-6，

，

∴，

∴S=S梯形PQMG-S△HBM=（PG+QM）MG-BMHM，

=（9t-6）[8-4t+8]- （6t-6）（8t-8），

=-42t2+132t-72；

（4）①當(dāng)NQ∥AD時(shí)，如圖5，

∴∠DPQ=∠PQN=∠QNB，

∵PQ=BN，∠PQD=∠NBQ，

∴△DPQ≌△QNB，

∴DQ=BQ=×8=4，

即8t=4，t=；

②當(dāng)NQ∥AB時(shí)，如圖6，延長(zhǎng)PN交AB于G，則PG⊥AB，則PG=8-4t，

∵PN=BQ=8t，

∴8t+8t=8-4t，t=，

③如圖7，當(dāng)Q與C重合，P與A重合時(shí)，t=2，

此時(shí)，CM=AN=8，B是AM的中點(diǎn)，

NC在直線BC上，

∴NQ∥AD，

綜上所述，t的值為秒或秒或2秒．