Question

【題目】定義：點P（a，b）關(guān)于原點的對稱點為P′，以PP′為邊作等邊△PP′C，則稱點C為P的“等邊對稱點”；

（1）若P（1，3），求點P的“等邊對稱點”的坐標．

（2）平面內(nèi)有一點P（1，2），若它其中的一個“等邊對稱點”C在第四象限時，請求此C點的坐標；

（3）若P點是雙曲線y＝（x＞0）上一動點，當點P的“等邊對稱點”點C在第四象限時，

①如圖（1），請問點C是否也會在某一函數(shù)圖象上運動？如果是，請求出此函數(shù)的解析式；如果不是，請說明理由．

②如圖（2），已知點A （1，2），B （2，1），點G是線段AB上的動點，點F在y軸上，若以A、G、F、C這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點C的縱坐標yc的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C 或C（；（3）yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2；

【解析】

（1）由定義可知P’的坐標，設(shè)C坐標為（m，n），進而根據(jù)兩點坐標公式和等邊三角形三邊相等即可列出方程求解即可.

（2）同（1）求出點C坐標，根據(jù)它其中的一個“等邊對稱點”C在第四象限可得C點坐標.

（3）①設(shè)P（c，），則P'（﹣c，﹣），設(shè)C點坐標為（s，t），同（1）列方程組即可求出C點坐標為,即可求出點C運動的函數(shù)解析式.

②設(shè)G點橫坐標為t，則由直線AB解析式可知G點坐標為（t，-t+3），由F點在x軸可知其橫坐標為0，分兩種情況可：I. 當AG為平行四邊形的邊時，則C點坐標為（t-1，yc），II.AG為對角線，則C點坐標為（2t，yc）因為C在上，故由t的取值范圍即可確定yc的取值范圍.

解：（1）∵P（1，3），

∴P'（﹣1，﹣3），

∴PP'2＝40，

∴PC2＝P'C2＝40，

設(shè)C（a，b），

∴a＝﹣3b，

∴b＝，

∴C（3，﹣）或C（﹣3，）；

（2））∵P（1，2），

∴P'（﹣1，﹣2），

∴PP'2＝20，

∴PC2＝P'C2＝20，

設(shè)C（a，b），

∴，

∴a＝﹣2b，

∴b＝，

∴C（2，﹣）或C（﹣2，），

∵C在第四象限，

∴C（2，﹣）；

（3）①設(shè)P（c，），

∴P'（﹣c，﹣），

∴PP'2＝，

PC2＝P'C2＝，

設(shè)C（s，t），

∴，

∴s＝，

∴t2＝3c2，

∴t＝ ，

∴C 或C，

∴點C在第四象限，c＞0，

∴C，

令，

∴xy＝﹣6，即y＝（x＞0）；

②∵A（1，2），B（2，1），

∴經(jīng)過AB直線為y=-x+3，

設(shè)G點為（t，3-t），

I. 當AG為平行四邊形的邊時，

∵F在y軸上，故C點橫坐標為t-1，

又∵點C在y＝（x＞0）上，

∴，

∵G在線段AB上，

∴1＜t≤2，

∴≤-6，

II.當AG為對角線時，F(xiàn)在y軸上，故C點橫坐標為2t，

∴，

∵G在線段AB上，

∴1＜t≤2，

∴-3＜≤2.

綜上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2；