Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB//CD，求對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng).
②若AC⊥BD，求證：AD=CD.
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，且BP=2PD，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）

解：①因?yàn)锳B=CD=1，AB//CD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

又因?yàn)锳B=BC，

所以□ABCD是菱形.

又因?yàn)椤螦BC=90度，

所以菱形ABCD是正方形.

所以BD= .

②如圖1，連結(jié)AC，BD，

因?yàn)锳B=BC，AC⊥BD，

所以∠ABD=∠CBD,

又因?yàn)锽D=BD，

所以△ABD△CBD，

所以AD=CD.

（2）

解：若EF與BC垂直，則AE≠EF，BF≠EF，

所以四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件；

若EF與BC不垂直，

①當(dāng)AE=AB時(shí)，如圖2，

此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以AE=AB=5.

②當(dāng)BF=AB時(shí)，如圖3，

此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以BF=AB=5，

因?yàn)镈E//BF，

所以△PED~△PFB，

所以DE：BF=PD：PB=1:2,

所以AE=9-2.5=6.5.

綜上所述，AE的長(zhǎng)為5或6.5.

【解析】（1）①由AB=CD=1，AB//CD,根據(jù)“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可得四邊形ABCD是平行四邊形.由鄰邊相等AB=BC，有一直角∠ABC=90度，所以菱形ABCD是正方形.則BD= ；②連結(jié)AC，BD，由AB=BC，AC⊥BD，可知四邊形ABCD是一個(gè)箏形，則只要證明△ABD△CBD，即可得到AD=CD.（2）分類(lèi)討論：若EF與BC垂直，明示有AE≠EF，BF≠EF，即EF與兩條鄰邊不相等；由∠A=∠ABC=90°，可分類(lèi)討論AB=AE時(shí)，AB=BF時(shí)去解答.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形．