Question

已知拋物線y＝x²＋(2n－1)x＋n²－1(n為常數(shù))．

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．

①當(dāng)BC＝1時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；

②試問(wèn)矩形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知條件，得n2－1＝0………………………………1分 　　解這個(gè)方程，得n1＝1，n2＝－1…………………2分 　　當(dāng)n＝1時(shí)，得y＝x2＋x，此拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限． 　　當(dāng)n＝－1時(shí)，得y＝x2－3x，此拋物線的頂點(diǎn)在第四象限．………………4分 　　∴所求的函數(shù)關(guān)系為y＝x2－3x．………………5分 　　(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 　　∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3，0) 　　∴它的頂點(diǎn)為(，)，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，其大致位置如圖所示，………………6分 　　①∵BC＝1，由拋物線和矩形的對(duì)稱(chēng)性易知OB＝×(3－1)＝1． 　　∴B(1，0)……7分 　　∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x＝1，又點(diǎn)A在拋物線y＝x2－3x上， 　　∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝12－3×1＝－2． 　　∴AB＝|y|＝|－2|＝2．……8分 　　∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為：2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6．…………9分 　�、凇唿c(diǎn)A在拋物線y＝x2－3x上，故可設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x2－3x)，…………10分 　　∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)．(0＜x＜) 　　∴BC＝3－2x，A在x軸下方， 　　∴x2－3x＜0， 　　∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2…………11分 　　∴矩形ABCD的周長(zhǎng) 　　P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋…12分 　　∵a＝－2＜0， 　　∴當(dāng)x＝時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)P最大值為．………………13分 　　此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(，)．………………14分