Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：y=

1

2

x²-2x+3與y軸交于點(diǎn)A，P為拋物線上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A不重合．連接AP，以AO、AP為鄰邊作平行四邊形OAPQ，PQ所在直線與x軸交于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)Q落在x軸上時m的值．
（2）若點(diǎn)Q在x軸下方，則m為何值時，線段QB的長取最大值，并求出這個最大值．
【參考公式：二次函數(shù)興y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)】

Answer 1

分析：（1）可以令x=0可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），當(dāng)Q落在x軸上時，PQ=OA=3，即可得出y=3時m的值；
（2）根據(jù)當(dāng)PB取最小值時，QB最大，當(dāng)x=2時，二次函數(shù)y=

1

2

x²-2x+3有最小值即可得出答案．

解答：解：（1）令x=0可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），當(dāng)Q落在x軸上時，PQ=OA=3，
在y=

1

2

x²-2x+3中，令y=3，可求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)m=4，
即點(diǎn)Q落在x軸上時m的值為4；

（2）∵QB=OA-PB=3-PB，
∴當(dāng)PB取最小值時，QB最大，
二次函數(shù)y=

1

2

x²-2x+3=

1

2

（x²-4x+4-4）+3=

1

2

（x-2）²+1，
當(dāng)x=2時，有最小值y=1，
故m=2時，QB的最大值為2．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值問題以及點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．