Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是

AC

的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC交BC于E，交BA于M；
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）連接AC交BD于F，若AF=5，CF=3，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD，利用題目中告訴的相等的弧長(zhǎng)得到相等的角，從而得到線段的平行，證得OD⊥ME，從而判定切線；
（2）連接AD、作GF⊥AB，利用角平分線的性質(zhì)求得FG的長(zhǎng)，再利用相似三角形的知識(shí)求得BC、BF的長(zhǎng)，利用相交弦定理求BF的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）證明：連接OD，
∵點(diǎn)D是

AC

的中點(diǎn)，
∴∠DOA=∠EBA
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠MDO=∠MEB=90°，
∴ED是⊙O的切線；

（2）如圖，連接AD，作FG⊥AB于G點(diǎn)，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠FGB=90°，
∴△AFG∽△ABC
∴

AF

AB

=

FG

BC

∵BD平分∠ABE，
∴FC=FG=3，
∴

BC

AB

=

3

5

，
∴BC=6，
∴BF=

FC2+BC2

=3

5

，
∵△DFA∽△CFB，
∴

DF

CF

=

AF

FB

即：

DF

3

=

5

3 5

∴DF=

5

∴BD=BF+FD=3

5

+

5

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，并在圓內(nèi)利用相交弦定理等知識(shí)正確的求解．