Question

（2008•白下區(qū)二模）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)Q作 QD丄x軸，垂足為點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）求△APE的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的 取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得△APE為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BQ、OP、CQ、AP的值，求出DE的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（2）把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，即可求出答案；
（3）若∠AEP=90°，根據(jù)DE=AD=

1

2

AP，代入求出即可；若∠APE=90°，根據(jù)PE=DE=PA，代入求出t即可．

解答：解：（1）經(jīng)過t秒時(shí)，BQ=t，OP=2t，則CQ=3-t，AP=4-2t，
∵A（4，0〕，C（0，4〕．
∴AO=CO，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵CB∥AO，
∴∠BCA=∠OAC=45°，
∴QE=CQ=3-t，
∴DE=1+t，
∴S_△APE=

1

2

AP×DE=

1

2

（4-2t）（1+t）=-t²+t+2（0≤t≤2）．
∴S=-t²+t+2（0≤t≤2）；

（2）S=-t²+t+2，
=-(t-

1

2

) 2+

9

4

，
∵0≤t≤2，
∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，S的值最大．

（3）存在，
若∠AEP=90°，則DE是等腰直角三角形APE底邊AP上的高，
∴DE=AD=

1

2

AP，
∴1+t=

1

2

（4-2t），
解得：t=

1

2

，
∴P的坐標(biāo)是（1，0）；
若∠APE=90°，則此時(shí)PE與DE重合，
∴PE=DE=PA，
1+t=4-2t，
t=1，
∴P的坐標(biāo)是（2，0），
綜上所述P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)二次函數(shù)的最值，直角梯形，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和能否求出符合條件的t的值，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力．