Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△OAB是等腰三角形（OB為底邊），頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-6，0），AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）若直線QP與y軸交于點(diǎn)M，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使△QOM與△ABD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）以點(diǎn)P為圓心、為半徑長(zhǎng)作圓，得到動(dòng)圓⊙P，過(guò)點(diǎn)Q作⊙P的兩條切線，切點(diǎn)分別是E、F．問(wèn)：是否存在以Q、E、P、F為頂點(diǎn)的四邊形的最小面積S？若存在，請(qǐng)求出S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，所以C（2，2）；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使△QOM與△ABD相似，則由已知條件和相似三角形的性質(zhì)得知或，繼而求得使條件成立的M點(diǎn)坐標(biāo)可能是：（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12）；不同的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)直線PQ不同的解析式；然后解由直線QP與直線BC的解析式組成的方程組，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）以P為圓心、2為半徑作圓，過(guò)Q作此圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是E、F，連接PE、PF（圖2）；根據(jù)切線的性質(zhì)來(lái)證明△PEQ≌△PFQ，S_{四邊形QEPF}=2QE，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上移動(dòng)時(shí)，QE的大小由PQ的大小確定，PQ最小時(shí)，QE達(dá)到最小，從而使四邊形QEPF的面積最�。�顯然，在所有點(diǎn)Q到直線BC的距離中，當(dāng)QP⊥BC時(shí)QP的長(zhǎng)是最小的，所以此時(shí)四邊形QEPF的面積即為最小面積．
解答：解：（1）∵△AOB是等腰三角形，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），
又∵AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，
∴C（2，2）；（2分）

（2）∵△QOM與△ABD相似，而∠QOM=∠ADB=90°，
∴必有或，（圖1）（1分）
又∵AD=4，BD=2，OQ=6，
∴OM=3或者12，
∴使條件成立的M點(diǎn)坐標(biāo)可能是：
（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12），（1分）
又∵Q（-6，0），
∴①當(dāng)M（0，3）時(shí)，直線QP的解析式是：；
②當(dāng)M（0，-3）時(shí)，直線QP的解析式是：；
③當(dāng)M（0，12）時(shí)，直線QP的解析式是：y=2x+12；
④當(dāng)M（0，-12）時(shí)，直線QP的解析式是：y=-2x-12；（2分）
∵B（4，0），C（2，2），
∴直線BC的解析式是：y=-x+4；（1分）
分別解由直線QP與直線BC的解析式組成的方程組：
①，②，③，④
得：①，②，③，④
使△QOM與△BCD相似的點(diǎn)P的坐標(biāo)是，（14，-10），或者（-16，20）．（2分）

說(shuō)明：以上解題過(guò)程中，每少一種情況扣（1分），格式不對(duì)或解題不完整酌情扣分．

（3）以P為圓心、為半徑作圓，過(guò)Q作此圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是E、F，連接PE、PF（圖2）．
則PE=PF=，PQ=PQ，∠PEQ=∠PFQ=90°，
∴△PEQ≌△PFQ；（1分）
∴．（1分）
∵QE²=PQ²-PE²=PQ²-2，
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上移動(dòng)時(shí)，QE的大小由PQ的大小確定，PQ最小時(shí)，QE達(dá)到最小，從而使四邊形QEPF的面積最小．顯然，在所有點(diǎn)Q到直線BC的距離中，當(dāng)QP⊥BC時(shí)QP的長(zhǎng)是最小的，
∴此時(shí)四邊形QEPF的面積即為最小面積．
（1分）
當(dāng)QP⊥BC于P時(shí)，∠QPB=∠BDC=90°，∠PBQ=∠DBC，
故△PBQ∽△DBC，
∴，而CD=2，BD=2，
∴BC=，
∴∴PQ=，（1分）
∴，
∴四邊形QEPF的最小面積=．（1分）

說(shuō)明：解法不同參考給分，格式不對(duì)或解題不完整酌情扣分．
點(diǎn)評(píng)：本題是綜合性比較強(qiáng)的一道題，它集相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及切線的性質(zhì)，是難度較大的題型．