Question

如圖，分別過點C、B作△ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E、F．求證：BF=CE．

Answer 1

證明：根據(jù)題意，知CE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠CED=∠BFD=90°，
又∵AD是邊BC上的中線，
∴BD=DC；
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∠BDF=∠CDE（對頂角相等），BD=CD，∠CED=∠BFD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE（全等三角形的對應邊相等）．
分析：由已知條件“過點C、B作AD及其延長線的垂線”易證兩個直角相等；再由AD是中線知BD=CD，對頂角∠BDF與∠CDE相等，利用“AAS”來證明△BDF≌△CDE；最后根據(jù)全等三角形的對應邊相等來證明BF=CE．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是通過平行線的判定定理（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條線段的兩條直線平行）證明CE∥BF，然后通過平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）求得∠DBF=∠DCE才能構建是全等三角形△BDF≌△CDE．