Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（0，4），B（8，0），C（8，4），連接AC，BC得到四邊形AOBC，點(diǎn)D在邊AC上，連接OD，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，若點(diǎn)P到四邊形AOBC較長兩邊的距離之比為1：3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________________.

Answer 1

【答案】（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

【解析】

由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=8，分兩種情況：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC的內(nèi)部時(shí)，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，當(dāng)PE：PF=1：3時(shí)，求出PE=1，PF=3，由折疊的性質(zhì)得：OP=OA=4，∠OPD=∠A=90°．在Rt△OPF中，由勾股定理求出OF的長，即可得出答案；

②當(dāng)PE：PF=3：1時(shí)，同理得P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC的外部時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在第四象限，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，由PF：PE=1：3，則PF：EF=1：2，求出PF=2．在Rt△OPF中，由勾股定理求出OF的長，即可得出答案．

∵點(diǎn)A（0，4），B（8，0），C（8，4），∴BC=OA=4，OB=AC=8，分兩種情況：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC的內(nèi)部時(shí)，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖1所示．

①當(dāng)PE：PF=1：3時(shí)．

∵PE+PF=BC=4，∴PE=1，PF=3，由折疊的性質(zhì)得：OP=OA=4．在Rt△OPF中，由勾股定理得：OF===，∴P（，3）；

②當(dāng)PE：PF=3：1時(shí)，同理得：P（，1）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC的外部時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在第四象限，過P作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖2所示．

∵PF：PE=1：3，則PF：EF=1：2，∴PF=EF=BC=2，由折疊的性質(zhì)得：OP=OA=4．在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴P（2，﹣2）；

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

故答案為：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．