Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).分別延長到，到，使，，再以，為鄰邊作平行四邊形.

（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得四邊形，點(diǎn)，，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，旋轉(zhuǎn)角為.

①旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①或，②

【解析】

（Ⅰ）過作軸于H，根據(jù)四邊形是正方形和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)的得出正方形的邊長為2，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OP=PC=，結(jié)合已知條件利用三角函數(shù)得出OH和DH的長即可.

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，分旋轉(zhuǎn)角=和進(jìn)行討論，都是過作的垂線，垂足記作，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)求得的長，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②先根據(jù)正方形的判定，結(jié)合已知條件證出四邊形是正方形，求出對(duì)角線PE=4,從而得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以B為圓心，4為半徑的圓，繼而求出的取值范圍；

解：

（Ⅰ）過作軸，垂足記作，

∵四邊形是正方形，，點(diǎn)，點(diǎn).

∴正方形的邊長為，

∴，∴

∵=，∴

在等腰中，.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

（Ⅱ）①過點(diǎn)作的垂線，由點(diǎn)落在垂線上.

在中，

∵，∴.

∴.

∴旋轉(zhuǎn)角或

當(dāng)時(shí)，

在中，

過作的垂線，垂足記作.

∵，，

∴.

在中，.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，

在中，∵，∴.

∵，，∴.

在中，.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或

②∵四邊形平行四邊形,AB⊥OC

∴平行四邊形是矩形；

∵，，PC=PA,

∴PD=PF，∴矩形是正方形；

∴PE=4

∴點(diǎn)在以B為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；

∴；

∴的取值范圍: