Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x=-1，B（1，0），C（0，-3）．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之差最大？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，經過點B（1，0），C（0，-3），
∴，
解得，
所以，二次函數(shù)的解析式是：y=x²+2x-3；

（2）如圖，∵A、B兩點關于對稱軸x=-1對稱，
∴點A（-3，0），
作直線AC交對稱軸于點P，點P即為所求，
根據(jù)三角形的三邊關系，PA-PC＜AC，
所以，當點P為AC與對稱軸的交點時，點P到A、C兩點距離之差最大，
設直線AC的解析式是：y=kx+b，
∴，
解得，
∴設直線AC的解析式是：y=-x-3，
當x=-1時，y=-2，
∴點P的坐標是（-1，-2）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為x=-=-1，把點B、C的坐標代入拋物線解析式，然后組成關于a、b、c的三元一次方程組，求解即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性求出點A的坐標，作直線AC，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊確定當點P為AC與對稱軸的交點時，點P到A、C兩點距離之差最大，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式，再把x=-1代入求出y的值，即可得到點P的坐標．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（拋物線解析式與直線解析式），三角形的三邊關系的利用，綜合題但難度不大，比較簡單，（2）中判斷出點P的位置是解題的關鍵．