Question

已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．

（1）如圖1，若∠COF=14°，則∠BOE=

28°

；若∠COF=n°，則∠BOE=

2n°

，∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為

∠BOE=2∠COF

；
（2）當射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得∠BOD為直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，請求出∠COF的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OF平分∠AOE得到∠AOE=2∠EOF，利用∠AOE=∠AOB-∠BOE，得2∠EOF=∠AOB-∠BOE，則2（∠COE-∠COF）=∠AOB-∠BOE，把∠AOB=160°，∠COE=80°代入•即可得到∠BOE=2∠COF，這樣可分別計算出∠COF=14°或n°時，∠BOE的度數(shù)；
（2）與（1）的推理一樣．
（3）設∠AOF=∠EOF=2x，由∠DOF=3∠DOE，得∠DOE=x，而∠BOD為直角，2x+2x+x+90°=160°，解出x=14°，則∠BOE=90°+x=104°，于是∠COF=

1

2

×104°=52°（滿足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．

解答：解：（1）∵∠AOE=∠AOB-∠BOE，
而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB-∠BOE，
∴2（∠COE-∠COF）=∠AOB-∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°-2∠COF=160°-∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF，
當∠COF=14°時，∠BOE=28°；當∠COF=n°時，∠BOE=2n°，
故答案為28°；2n°；∠BOE=2∠COF．

（2）∠BOE=2∠COF仍然成立．理由如下：
∵∠AOE=∠AOB-∠BOE，
而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB-∠BOE，
∴2（∠COE-∠COF）=∠AOB-∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°-2∠COF=160°-∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF；

（3）存在．
設∠AOF=∠EOF=2x，
∵∠DOF=3∠DOE，
∴∠DOE=x，
而∠BOD為直角，
∴2x+2x+x+90°=160°，
解得x=14°，
∴∠BOE=90°+x=104°，
∴∠COF=

1

2

×104°=52°（滿足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．

點評：本題考查了角度的計算：利用幾何圖形計算角的和與差．也考查了角平分線的定義．