Question

如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2mx-m-2的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)（x₁＜0＜x₂），與y軸交于C點(diǎn)
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，AC=BC；
（2）當(dāng)∠BAC=∠BCO時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AC=BC得出拋物線的對(duì)稱軸是y軸，再根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為0即可求出m的值；
（2）當(dāng)∠BAC=∠BCO，Rt△AOC∽R(shí)t△COB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得OC²=OA•OB，由兩點(diǎn)間的距離公式即可得到OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂，再由根與系數(shù)關(guān)系可得到關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值代入函數(shù)關(guān)系式，求出符合條件的x的值即可．

解答：解：（1）要使AC=BC，則該拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)是y軸，
則有-

-2m

2×1

=0，即m=0，
∴當(dāng)m=0時(shí)，AC=BC．

（2）當(dāng)∠BAC=∠BCO，有Rt△AOC∽R(shí)t△COB，則

OC

OB

=

OA

OC

，
即OC²=OA•OB，
由題意，知OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂
由根與系數(shù)關(guān)系，得x₁x₂=-m-2，
∴OA•OB=-x₁x₂=m+2
則|-m-2|²=m+2，
解，得m=-2或m=-1．
當(dāng)m=-2時(shí)，二次函數(shù)為y=x²+4x，此時(shí)x₁=-4，x₂=0，不合題意，舍去．
當(dāng)m=-1時(shí)，二次函數(shù)為y=x²+2x-1，此時(shí)x₁=-1-

2

，x₂=-1+

2

，符合題意．
∴當(dāng)∠BAC=∠BCO時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²+2x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、根與系數(shù)的關(guān)系，涉及面較廣，難度較大．